Konsensus w systemach dynamicznych niecałkowitego rzędu oraz w systemach na skalach czasowych.
dr hab. Agnieszka Barbara Malinowska, prof PB
Narodowe Centrum Nauki , OPUS 8
UMO-2014/15/B/ST7/05270
Wiadomo, że porozumienie lub dojście do konsensusu jest fundamentalnym zjawiskiem w społecznych i naturalnych systemach. Dlatego też modele matematyczne opisujące grupy tzw. agentów będących ze sobą w interakcji jak na przykład grupa ludzi, stado słoni lub rój robotów, kładą nacisk na te zagadnienia. Jednymi z najbardziej znanych modeli w obszarze tzw. dynamiki opinii są: model Hegselmanna i Krause’go (HK) o tzw. ograniczonym zaufaniu (bounded confidence models), w którym oddziaływanie między agentami może wystąpić jedynie wtedy, gdy ich opinie różnią się o wartość mniejszą od zadanej wartości parametru zwanego progiem zaufania oraz model Cuckera i Smale’a (CS) będący modelem konsensusu (consensus models); jest to model, w którym oddziaływanie między agentami jest zwykle zdeterminowane przez niewielkie grupki agentów. Stan końcowy takich układów to konsensus. Chcemy poprowadzić nasze badania w dwóch obszarach: (1) modele dynamiki opinii, a w szczególności Hegselmanna i Krause’go (model HK) oraz Cuckera i Smale’a (model CS), z operatorami niecałkowitego rzędu; (2) modele dynamiki opinii, a w szczególności HK i CS, na skalach czasowych. Cele projektu możemy podzielić na dwie grupy: (A) modele bez sterowania oraz (B) modele ze sterowaniem. W oparciu o klasyczne modele i eksperymenty numeryczne chcemy zbudować modele HK i CS z operatorami niecałkowitego rzędu (FHK, FCS) oraz modele HK i CS na skalach czasowych (TSHK, TSCS). W pierwszym etapie będziemy badać istnienie i zbieżność rozwiązań modeli wykonując numeryczne symulacje przy użyciu programów Maple i Matlab. Następny etap to dowodzenie istnienia i jednoznaczności, stabilności i zbieżności do punktu równowagi lub wzdłuż trajektorii rozwiązań układów. Weryfikacja hipotezy, że operatory niecałkowitego rzędu włączają pamięć systemu do całego procesu. Uzyskanie zmodyfikowanej definicji konsensusu i zmodyfikowanych parametrów opisujących systemy. Potwierdzenie, że układy niecałkowitego rzędu są odpowiednimi modelami dynamiki opinii. Kolejna hipoteza badawcza, którą chcemy zweryfikować brzmi: zastosowanie funkcjonału kosztu, zawierającego składnik będący $l^n_1-l^d_2$-normą wektora sterowania, w modelach dynamiki opinii z pochodnymi niecałkowitych rzędów lub na skalach czasowych prowadzi do uzyskania sterowań rzadkich (w sensie minimalnej ilości interwencji zewnętrznej decydentów). Rozważane w projekcie obiekty będą miały naturę matematyczną; będą to układy równań delta różniczkowych lub układy z pochodnymi niecałkowitych rzędów, zadania sterowania optymalnego na skalach czasowych, zadania sterowania optymalnego z pochodnymi niecałkowitych rzędów. Zatem będziemy stosowali metody odpowiednie dla nauk matematycznych. Wyniki będą formułowane w postaci twierdzeń zaopatrzonych w dowody. W miarę możliwości, dowody będą konstruktywne, oparte na algorytmach, które pozwolą na efektywne sprawdzanie warunków pojawiających się w twierdzeniach. Teoria będzie uzupełniona obliczeniami na komputerze, zarówno numerycznymi jak i symbolicznymi, z wykorzystaniem programów użytkowych takich jak Maple i Matlab. Poza standardowym językiem analizy matematycznej oraz równań różniczkowych i różnicowych będziemy korzystali z pojęć i twierdzeń rachunku różniczkowego i całkowego niecałkowitego rzędu, rachunku różniczkowego i całkowego na skalach czasowych, teorii sterowania optymalnego. Ewaluacja metod będzie zależała od wyników uzyskiwanych z prób implementacji. Modele HK i CS z zastosowaniem klasycznej pochodnej pozwoliły na uzyskanie wielu ciekawych wyników dotyczących zachowań grup agentów (ludzi, zwierząt czy robotów): zbieżności opinii do klastrów, dążenie do konsensusu. Z drugiej zaś strony pochodna i całka dowolnych rzędów otwierają niewyobrażalne możliwości w dziedzinie identyfikacji układów dynamicznych, tworzenia nowych, nieosiągalnych wcześniej algorytmów sterowania. Stąd też pomysł zastosowania w modelach dynamiki opinii pochodnych niecałkowitego rzędu, które taką pamięć uwzględniają. Przyglądając się badaniom zwierząt – co do ludzi kwestia ta nie budzi wątpliwości – idea wkluczenia pamięci do badań nad relacjami w grupach ludzi, zwierząt czy robotów wydaje się być bardzo zasadna. Jednocześnie oparcie badań na teorii skal czasowych powinno pozwolić na uzyskanie uniwersalnych wyników, które będą zachodzić zarówno dla układów z czasem ciągłym, dyskretnym, czy nawet problemów hybrydowych. Uważamy, że ten element projektu będzie miał duże znaczenie dla rozwoju teorii systemów dynamicznych.